Ausgabe 7/2004, Seite 10 f.


Fachmathematik


Einführung in die Fachmathematik

Teil 4: Berechnungsverfahren

Die technische Mathematik hat den Anspruch, fehlerfreie Ergebnisse ihrer Berechnungsverfahren liefern zu können. Bereits vor elfhundert Jahren wurden in Persien Lösungsverfahren entwickelt, um mathematische Probleme mit richtigen und nachvollziehbaren Ergebnissen in angemessener Bearbeitungszeit lösen zu können. Sie sind eingeladen, in Ihrem beruflichen bzw. schulischen Umfeld ein solches sicheres Berechnungsverfahren zu erlernen und zu praktizieren.

Übernehmen Sie für alle Aufgaben, in denen mit Formeln gerechnet wird, das nachstehende Lösungsschema.

Für die einzelnen Lösungsschritte sind zu beachten:

Die Aufgabenstellung erfolgt grundsätzlich aus Anforderungen der Fachpraxis nach Abmessungen und Betriebswerten. Wer Anlagen baut, muss diese Werte auch berechnen können. Übungsaufgaben sollen diese Qualifikation trainieren. Eine Skizze oder Zusatzinformation (Info) kann helfen, die Problemstellung zu klären.

In die Wertetabelle werden die gegebenen Werte in Form einer Gleichung mit Formelzeichen, Maßzahl und (ggf. umgewandelter) Maßeinheit eingetragen. Der gesuchte Wert muss mit Formelzeichen und Maßeinheit die Wertetabelle abschließen.

Der Kern der Berechnung ist die Lösung.

Die Lösung beginnt mit der Grundformel. Diese ist entweder bekannt oder muss einer Formelsammlung entnommen werden.

Wenn erforderlich, wird die Grundformel auf die gesuchte Größe umgestellt bzw. eine weitere Formel eingesetzt. In der nächsten Zeile werden alle Formelzeichen der rechten Seite der Gleichung durch entsprechende Werte aus der Wertetabelle mit Maßzahl und Maßeinheit ersetzt. Dann erfolgt die Zahlenrechnung mit dem Taschenrechner und das Runden, anschließend die Dimensionsrechnung. (Die ausgerechnete Dimension muss mit der Einheit der gesuchten Größe übereinstimmen!)

Die gesuchte Größe mit Maßzahl und Maßeinheit ist das vorläufige Ergebnis. Dieses vorläufige Ergebnis muss durch eine Erfolgskontrolle gesichert werden. Die höchste Sicherheit gibt eine unabhängige Kontrollrechnung oder eine grafische Lösung mit gleichem Ergebnis.

In den meisten Fällen führt schon eine Überschlagsrechnung, verbunden mit dem Ergebnisvergleich aus fachlicher Erfahrung, zu einem gesicherten Ergebnis.

Berechnungsbeispiel 1

Aufgabenstellung: Ein Stahlrohr in einer Heizungsanlage kann im Extremfall durch Temperaturunterschiede bis zu 120 K thermisch belastet werden. Jeder Meter Stahlrohr verlängert bzw. verkürzt sich mit der Temperaturänderung pro Kelvin um 0,012 mm. Mit welcher Längenausdehnung in mm ist im Grenzfall bei der Verlegung von 8 m Stahlrohr zu rechnen ?

Info: Eine Handwerksregel verlangt bei der Verlegung von Heizungs- und Warmwasserrohren eine Ausdehnungsmöglichkeit von ca. 1,5 mm je m Stahlrohr.

Wertetabelle:
Gegeben:
l0 = 8 m
DJ = 120 K
a = 0,012 mm/(m K)

Gesucht:
Dl in mm

Lösung:
Dl = l0 a DJ
Dl = 8 m 0,012 mm/(m K) 120 K
Dl = 11,52 mm = 12 mm
vorläufiges Ergebnis:
Dl = 12 mm
Erfolgskontrolle:
Ausdehnung 1,5 mm/m lt. Regel
Dl = 8 m 1,5 mm/m = 12 mm
gesichertes Ergebnis:
Dl = 12 mm

Berechnungsbeispiel 2

Aufgabenstellung: Für ein Wannenbad werden 70 kg Warmwasser von 60C mit 50 kg Kaltwasser von 10C gemischt. Welche Mischungstemperatur des Badewassers wird sich einstellen, wenn dem Bad weitere Wärmeenergie weder zugeführt noch entnommen wird?

Skizze:

Wertetabelle:
Gegeben:
mK = 50 kg
JK = 10C
mW = 70 kg
JW = 60C
c = 1,2 Wh/(kg K)

Gesucht:
JM in C

Lösung:

JM = 39,16C

vorläufiges Ergebnis:
JM = 39C (gerundet)

Erfolgskontrolle:
Bei einer Wärmemischung müssen die aufgenommene und die abgegebene Wärme rechnerisch gleich groß sein.

abgegebene Wärme:
70 kg 20,8 K 1,2 Wh/(kg K) = 1750 Wh

aufgenommene Wärme:
50 kg 29,2 K 1,2 Wh/(kg K) = 1750 Wh

gesichertes Ergebnis:
JM = 39C


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